Dokumentation der physikalischen Modelle im 3D-Sonnensystem
Die Simulation setzt alle drei Keplerschen Gesetze um.
Die Umlaufbahn eines Planeten ist eine Ellipse, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.
Die Bahnform wird durch die Polargleichung der Ellipse berechnet:
r(v) = a(1 - e²) / (1 + e·cos(v))| Symbol | Bedeutung |
|---|---|
r | Abstand des Planeten zur Sonne (Radiusvektor) |
a | Große Halbachse der Ellipse |
e | Numerische Exzentrizität (0 = Kreis, 0 < e < 1 = Ellipse) |
v | Wahre Anomalie (Winkel vom Perihel aus gemessen) |
Die kartesischen Koordinaten ergeben sich als:
x = r·cos(v)
z = r·sin(v)Der Radiusvektor Sonne-Planet überstreicht in gleichen Zeitabständen gleiche Flächen.
Dies bedeutet: Ein Planet bewegt sich sonnennah (Perihel) schneller und sonnenfern (Aphel) langsamer. Die Winkelgeschwindigkeit ist also nicht konstant.
Die Umsetzung erfolgt über die Kepler-Gleichung, die die Beziehung zwischen gleichmäßig verstreichender Zeit und der tatsächlichen Position auf der Ellipse beschreibt (siehe Abschnitt 2).
Die Quadrate der Umlaufzeiten verhalten sich wie die Kuben der großen Halbachsen: T² ∝ a³
Die speed-Parameter der Planeten sind so gewählt, dass sie die relativen Umlaufzeiten abbilden. Die Erde dient als Referenz (speed = 1.0). Die Geschwindigkeiten der anderen Planeten sind proportional zu 1/T, wobei T die reale Umlaufzeit ist:
| Planet | Umlaufzeit (real) | speed-Faktor | Berechnung |
|---|---|---|---|
| Merkur | 88 Tage | 4.15 | 365/88 ≈ 4.15 |
| Venus | 225 Tage | 1.62 | 365/225 ≈ 1.62 |
| Erde | 365 Tage | 1.00 | Referenz |
| Mars | 687 Tage | 0.53 | 365/687 ≈ 0.53 |
| Jupiter | 4.333 Tage (11,86 J.) | 0.084 | 365/4333 ≈ 0.084 |
| Saturn | 10.759 Tage (29,46 J.) | 0.034 | 365/10759 ≈ 0.034 |
| Uranus | 30.687 Tage (84,01 J.) | 0.012 | 365/30687 ≈ 0.012 |
| Neptun | 60.190 Tage (164,8 J.) | 0.006 | 365/60190 ≈ 0.006 |
Das Kernproblem der Bahnmechanik: Die Zeit verstreicht gleichmäßig (mittlere Anomalie M steigt linear), aber die Position auf der Ellipse (wahre Anomalie v) ändert sich ungleichmäßig.
Die mittlere Anomalie steigt linear mit der Zeit:
M = n·twobei n = 2π/T die mittlere Bewegung (Winkelgeschwindigkeit bei gleichförmiger Kreisbewegung) ist.
Die Kepler-Gleichung verknüpft die mittlere Anomalie M mit der exzentrischen Anomalie E:
M = E - e·sin(E)Diese transzendente Gleichung ist nicht analytisch nach E auflösbar und muss numerisch gelöst werden.
Wir definieren f(E) = E - e·sin(E) - M und suchen die Nullstelle. Die Newton-Raphson-Formel lautet:
Eₙ₊₁ = Eₙ - f(Eₙ) / f'(Eₙ)
= Eₙ - (Eₙ - e·sin(Eₙ) - M) / (1 - e·cos(Eₙ))Startwert: E₀ = M (gute Näherung für kleine Exzentrizitäten)
Konvergenz: 10 Iterationen sind implementiert, was selbst für Merkur (e = 0.205) eine Genauigkeit von über 15 Dezimalstellen liefert. Das Verfahren konvergiert für e < 1 quadratisch, d.h. die Anzahl korrekter Stellen verdoppelt sich pro Iteration.
Nach Lösung der Kepler-Gleichung wird die wahre Anomalie v berechnet:
tan(v/2) = sqrt((1+e)/(1-e)) · tan(E/2)In der Implementierung als numerisch stabile atan2-Variante:
v = 2·atan2( sqrt(1+e)·sin(E/2), sqrt(1-e)·cos(E/2) )Die Exzentrizitäten entsprechen den realen Werten der Planeten:
| Planet | Exzentrizität (real) | Exzentrizität (Sim.) | Auswirkung |
|---|---|---|---|
| Merkur | 0.2056 | 0.205 | Stark elliptisch, deutlich sichtbar |
| Venus | 0.0068 | 0.007 | Nahezu kreisförmig |
| Erde | 0.0167 | 0.017 | Nahezu kreisförmig |
| Mars | 0.0934 | 0.093 | Leicht elliptisch |
| Jupiter | 0.0484 | 0.049 | Leicht elliptisch |
| Saturn | 0.0539 | 0.057 | Leicht elliptisch |
| Uranus | 0.0473 | 0.046 | Leicht elliptisch |
| Neptun | 0.0086 | 0.011 | Nahezu kreisförmig |
Bei Merkur (e ≈ 0.205) beträgt das Verhältnis der Geschwindigkeit am Perihel vs. Aphel:
v_perihel / v_aphel = (1+e)/(1-e) = 1.205/0.795 ≈ 1.52Der Planet bewegt sich am sonnennächsten Punkt also ca. 52% schneller als am sonnenfernsten.
Die Umlaufzeit des Mondes beträgt 27,3 Tage (siderisch). Das Verhältnis zur Erdumlaufzeit:
365.25 / 27.3 ≈ 13.4Der Mond-Geschwindigkeitsfaktor ist daher 13.4 × Erd-Geschwindigkeit.
Die Mondbahn ist um 5,14° (0,0897 rad) gegen die Ekliptik geneigt. Die Bahnberechnung erfolgt als Kreis in einer geneigten Ebene:
x = cos(angle) · d
y = sin(angle) · sin(i) · d
z = sin(angle) · cos(i) · dwobei i = 5.14° die Inklination und d der Bahnradius ist.
Die Mondbahn wird als Kreis angenähert. Die reale Exzentrizität des Mondes (e ≈ 0.055) ist gering und visuell kaum wahrnehmbar. Die Präzession der Mondknoten (18,6-Jahre-Zyklus) wird nicht simuliert.
Die Achsneigung der Planeten ist als tilt-Parameter implementiert (in Radiant):
| Planet | Achsneigung (real) | tilt (rad) | Anmerkung |
|---|---|---|---|
| Merkur | 0,03° | 0.03 | Fast senkrecht |
| Venus | 177,4° | 3.09 | Retrograde Rotation |
| Erde | 23,4° | 0.41 | Ursache der Jahreszeiten |
| Mars | 25,2° | 0.44 | Erdähnlich |
| Jupiter | 3,1° | 0.05 | Fast senkrecht |
| Saturn | 26,7° | 0.47 | Deutliche Neigung |
| Uranus | 97,8° | 1.71 | Extreme Seitenlage |
| Neptun | 28,3° | 0.49 | Moderate Neigung |
Venus hat eine retrograde Rotation (dreht sich entgegengesetzt), was durch den negativen rotSpeed-Wert (-0.002) abgebildet wird.
Uranus hat eine extreme Achsneigung von ~98°, rotiert also nahezu auf der Seite.
Die Rotationsgeschwindigkeiten der Planeten sind illustrativ, nicht mathematisch exakt. Die qualitative Reihenfolge ist korrekt, aber die Verhältnisse sind zugunsten der Sichtbarkeit vereinfacht.
| Planet | Reale Rotation | Relativ zu Erde (real) | rotSpeed | Relativ zu Erde (Sim.) |
|---|---|---|---|---|
| Merkur | 58,6 Tage | 0,017× | 0.005 | 0,25× |
| Venus | 243 Tage (retrograd) | 0,004× | -0.002 | 0,1× |
| Erde | 1 Tag | 1× | 0.02 | 1× |
| Mars | 1,03 Tage | 0,97× | 0.019 | 0,95× |
| Jupiter | 0,41 Tage (9,9 h) | 2,44× | 0.04 | 2× |
| Saturn | 0,44 Tage (10,7 h) | 2,27× | 0.038 | 1,9× |
| Uranus | 0,72 Tage (17,2 h) | 1,39× | 0.03 | 1,5× |
| Neptun | 0,67 Tage (16,1 h) | 1,49× | 0.028 | 1,4× |
Was korrekt dargestellt wird:
Was vereinfacht ist:
Die Radien sind relativ zum Erdradius skaliert und entsprechen den realen Verhältnissen:
| Planet | Realer Radius (km) | Verhältnis zu Erde | Simulation |
|---|---|---|---|
| Merkur | 2.440 | 0.38 | 0.38 |
| Venus | 6.052 | 0.95 | 0.95 |
| Erde | 6.371 | 1.00 | 1.00 |
| Mars | 3.390 | 0.53 | 0.53 |
| Jupiter | 69.911 | 10.97 | 3.50 * |
| Saturn | 58.232 | 9.14 | 2.90 * |
| Uranus | 25.362 | 3.98 | 2.00 * |
| Neptun | 24.622 | 3.86 | 1.90 * |
* Die Gasriesen sind aus Gründen der Darstellbarkeit verkleinert. Bei exakten Verhältnissen würde Jupiter ~11x so groß wie die Erde dargestellt, was die inneren Planeten unsichtbar machen würde.
Die Sonne hat einen realen Radius von ~696.350 km, was dem 109-fachen des Erdradius entspricht. In der Simulation wird sie jedoch mit Radius 5 dargestellt (nur 5× Erde statt 109×).
Warum eine maßstabsgetreue Darstellung unmöglich ist:
Eine Sonne mit korrektem Radius 109 (relativ zur Erde = 1) würde weit über die Bahnen von Merkur (Abstand 10), Venus (14) und sogar der Erde (19) hinausragen und diese Planeten visuell verschlucken.
Umgekehrt: Bei maßstabsgetreuen Abständen wäre die Sonne ein winziger Punkt. Real nimmt der Sonnenradius nur 1,2% von Merkurs Orbitalradius ein – bei einem Merkur-Abstand von 10 Einheiten ergäbe das einen Sonnenradius von lediglich ~0,12.
Das fundamentale Problem ist die enorme Spannweite: Zwischen dem kleinsten Objekt (Merkur, ~2.440 km Radius) und der größten Entfernung (Neptun, ~4,5 Mrd. km) liegen sechs Größenordnungen. Kein Bildschirm kann diese Skalen gleichzeitig korrekt abbilden. Deshalb werden in jeder Sonnensystem-Visualisierung – auch bei NASA und ESA – drei separate Kompromisse gemacht:
Die Abstände sind nicht linear skaliert, sondern komprimiert, um alle Planeten sichtbar darzustellen:
| Planet | Reale Entfernung (AU) | Simulation | Verhältnis |
|---|---|---|---|
| Merkur | 0.387 | 10 | 25.8 |
| Venus | 0.723 | 14 | 19.4 |
| Erde | 1.000 | 19 | 19.0 |
| Mars | 1.524 | 25 | 16.4 |
| Jupiter | 5.203 | 38 | 7.3 |
| Saturn | 9.537 | 52 | 5.5 |
| Uranus | 19.191 | 68 | 3.5 |
| Neptun | 30.069 | 82 | 2.7 |
Die Abstände folgen einer logarithmischen Kompression: Innere Planeten sind proportional weiter auseinander, äußere Planeten näher zusammen. Dies ist notwendig, da Neptun real 78x weiter von der Sonne entfernt ist als Merkur – eine lineare Darstellung würde die inneren Planeten auf wenige Pixel zusammendrängen.
Die Ringe sind als RingGeometry mit innerem Radius 1.4× und äußerem Radius 2.5× des Saturnradius implementiert. Real erstrecken sich die Hauptringe von ca. 1.1× bis 2.3× des Saturnradius.
Die Textur enthält eine Cassini-Teilung (dunkle Lücke bei ca. 45–52% des Ringradius), die der realen Teilung zwischen B-Ring und A-Ring entspricht. Die Ringe rotieren mit dem Planeten, was physikalisch korrekt ist, da sie gravitativ gebunden sind (obwohl einzelne Ringpartikel unterschiedliche Orbitalgeschwindigkeiten haben).
Die Ringneigung entspricht der axialen Neigung Saturns (26,7°).
Jupiters Ringsystem wurde 1979 von der Raumsonde Voyager 1 entdeckt. Es ist im Vergleich zu Saturns Ringen extrem dünn und lichtschwach. Das System besteht aus drei Hauptkomponenten:
Zusammensetzung: Im Gegensatz zu Saturns eisreichen Ringen bestehen Jupiters Ringe hauptsächlich aus Staubpartikeln, die durch Mikrometeoriten-Einschläge auf den kleinen inneren Monden freigesetzt werden.
Umsetzung in der Simulation:
| Eigenschaft | Saturn | Jupiter |
|---|---|---|
| Innerer Radius | 1.4× Planetenradius | 1.1× Planetenradius |
| Äußerer Radius | 2.5× Planetenradius | 1.8× Planetenradius |
| Opazität | 0.8 (gut sichtbar) | 0.3 (sehr subtil) |
| Textur | Helle Eis-/Gesteinsbänder mit Cassini-Teilung | Bräunlich-staubig, nach außen abnehmend |
Die geringe Opazität der Jupiter-Ringe spiegelt ihre reale Lichtschwäche wider – sie sind nur bei bestimmten Beleuchtungswinkeln (Vorwärtsstreuung) überhaupt sichtbar.
Da keine externen Bilddateien verwendet werden, werden alle Planetentexturen prozedural über Canvas2D erzeugt. Jede Textur nutzt fraktales Rauschen (FBM) mit mehreren Oktaven als Grundlage, ergänzt um planetenspezifische Features.
Alle Planeten werden mit 512×256 Pixeln gerendert, der Mond mit 256×128 Pixeln.
| Planet | Texturmerkmale |
|---|---|
| Merkur | Mehrstufige Krater (3 Größen), Caloris-Becken, Hochland-/Tiefland-Kontrast |
| Venus | Verwirbeltes Wolkenmuster mit Strömungsverzerrung, gebänderte Atmosphäre, Ishtar Terra und Aphrodite Terra |
| Erde | Kontinente mit differenziertem Terrain (Tropenwald, Wüste, Gebirge, gemäßigte Zone), Ozeane mit Tiefenvariation, Polkappen, Wolkenschicht |
| Mars | Syrtis Major, Hellas-Becken, Valles Marineris, Olympus Mons, Polkappen |
| Jupiter | Dreifach überlagerte Bandfrequenzen, turbulente Strömungsverzerrung, Großer Roter Fleck mit Wirbelstruktur, Weiße Ovale |
| Saturn | Dreifache Bandstruktur, Strömungsverzerrung, Nordpol-Hexagon (angedeutet), Sturmfeature |
| Uranus | Subtile Bänderung, Polaraufhellung, einzelnes helles Wolkenfeature |
| Neptun | Ausgeprägte Bänderung mit Verzerrung, Großer Dunkler Fleck, Scooter-Wolke, Südpol-Aufhellung |
| Mond | Mehrstufige Krater (3 Größen), Maria (dunkle Lava-Ebenen), helle Strahlenkrater |
Die Texturen basieren auf einer Kombination aus:
noise(x, y, seed) – Pseudozufällige, aber deterministische Wertefbm(x, y, seed, octaves) – Überlagerte Rauschfrequenzen mit abnehmender Amplitudeexp(-(x²+y²)·k) für lokalisierte Features (Krater, Becken, Stürme)| Aspekt | Vereinfachung | Reale Situation |
|---|---|---|
| Orbitalebenen | Alle Planeten in derselben Ebene | Leichte Inklinationen (0,8° bis 7°) |
| Gravitationseinflüsse | Keine Planeten-Interaktion | Gegenseitige Störungen, v.a. Jupiter |
| Periheldrehung | Nicht simuliert | Merkurs Periheldrehung (relativistisch) |
| Präzession | Nicht simuliert | Apsidendrehung aller Planeten |
| Mondknoten-Präzession | Nicht simuliert | 18,6-Jahre-Zyklus des Mondes |
| Mond-Exzentrizität | Kreisbahn (e=0) | Leicht elliptisch (e≈0.055) |
| Planetengrößen | Gasriesen verkleinert | Jupiter 11× Erddurchmesser |
| Abstände | Logarithmisch komprimiert | Lineare AU-Abstände |
| Sonne | Maßstabsgetreu verkleinert | 109× Erddurchmesser |
| Eigenrotation | Qualitativ korrekt, Verhältnisse komprimiert | Merkur 58× langsamer als Erde, Simulation nur 4× |